GAAL RCN00075 – 2025-2

\[ \begin{align*} {\color{blue}a}x^2+{\color{blue}b}y^2+{\color{blue}c}xy&= \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} {\color{blue} \begin{bmatrix} a & c/2\\ c/2 & b\end{bmatrix} } \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\\ &=X^t {\color{blue}A} X, \quad \bar{X}=Q^tX \\ & =\bar{X}^t{\color{red}D}\bar{X}\\ &= \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} {\color{red} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2\end{bmatrix} }\\ & = {\color{red}\lambda_1}\bar{x}^2+{\color{red}\lambda_2}\bar{y}^2. \end{align*} \]

1 Informações Básicas

Dia Horário Sala
Segunda 16h - 18h Sala 2 ICT
Terça 14h - 16h Sala 2 ICT
  • Material a ser utilizado

  • Ementa: Busque por RCN00075 em quadro de horários:
    MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. DETERMINANTES. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO. RETAS E PLANOS. ESPAÇO \(\mathbb{R}^n\). AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ. DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES. RECONHECIMENTO DE CÔNICAS.

  • Monitoria:

2 Apresentação do Curso

Este curso é constituído de dois módulos:

  1. Matrizes, Sistemas lineares, Determinates e Geometria Analítica;
  2. Álgebra Linear no \(\mathbb{R}^n\).

Usaremos como livro texto as referências [1] e [2]. A Biblioteca do campus – BRO, disponibiliza [3] para empréstimo, que corresponde à edição 2004 de [1], que também pode ser usada. A referência [2] pode ser baixada aqui. É altamente recomendado que vocês consultem este material, de preferência, o livro físico.

As demais referência contidas na Seção 5 serão usadas como material auxiliar ao longo do curso.

3 Avaliação

A avaliação será feita mediante 3 Verificações de Aprendizagem (Provas Escritas) e Atividades Remotas a serem realizadas no Ambiente Moodle.

Instruções de acesso ao moodle

Endereço: https://seet.eaduff.org/ead
Login: digite o seu CPF (somente algarismos)
Senha: Seet2025

Após realizar o primeiro acesso, substitua a senha provisória Seet2025 por uma senha pessoal.

A nota parcial (NP) será a média ponderada entre elas, dada da seguinte forma: \[ NP=0.9\cdot VA+0.1\cdot AR, \] onde \(VA\) é a média aritmética entre as Verificações de Aprendizagem e \(AR\) é a nota final das Atividades Remotas. De acordo com o Regulamento da UFF, a Nota Final é calculada da seguinte forma:

Definida como sendo igual à média parcial, caso o discente tenha obtido aprovação direta, ou igual a 6(seis), se a aprovação foi obtida na verificação suplementar (VS). No caso de reprovação na VS, a nota final será o resultado do cálculo da média aritmética entre a média parcial e a nota obtida na VS.

Objetivos

As provas tem como objetivos avaliar se o aluno:

  • É capaz de interpretar as questões corretamente e formular soluções para os problemas propostos.
  • É capaz de produzir soluções, em formato de texto, compreensíveis, com nível de detalhamento e rigor adequados para que outros profissionais familiarizados com os conceitos possam entendê-las.
  • Aprendeu os conceitos e técnicas ensinados em sala de aula.
  • Sabe determinar quando a solução proposta resolve de fato o problema.
  • Consegue desenvolver uma argumentação lógica-dedutiva para chegar-se à resposta final.

Critério de correção das provas

Com base nos objetivos apresentados acima, os critério de correção serão:

  1. Interpretação correta das questões.
  2. As soluções devem ser escrita com clareza, organização, rigor e detalhamento.
  3. Soluções desenvolvidas fora do conteúdo ensinado, mesmo que corretas, não serão consideradas.
  4. Questão com várias soluções será anulada.
  5. Resposta correta com solução errada será anulada.

Além disso, durante às provas, serão adotadas as seguinte medidas:

  • Proibido compartilhar material.
  • Só é permitida a saída após entrega definitiva da prova, ou seja, não é permitido ir ao banheiro ou beber água. A prova tem duração de no máximo 2 horas.
  • É permitida a consulta a material (livros, notas de aula, caderno, apostilas e etc.) e uso de dispositivo computacional, como calculadora científica, ambos sem acesso a internet.
  • Fraude detectada, mesmo depois, zera a nota.

Segunda Chamada

O Art. 98 do Regulamento dos Cursos de graduação garante ao aluno o direito a uma avaliação de Segunda Chamada (VR), sem a necessidade de justificativa! Portanto, aquele aluno que não puder ou não quiser fazer uma das provas, poderá faltar que seu direito à Segunda Chamada será garantido.

Cabe ressaltar que o conteúdo da Segunda Chamada será toda a matéria do semestre.

Importante

Como não há a necessidade de justificar a falta nas avaliações para ter o direito à Segunda Chamada garantido, alguns alunos usam este direito para fazer a Segunda Chamada quando não se sentem suficientemente preparados para alguma das avaliações.

Por conta disso, o aluno que estiver em dúvida entre fazer a prova ou a Segunda chamada, poderá comparecer no dia da prova e tentar fazê-la. Caso não se sinta preparado, poderá desistir e ainda terá o direito a fazer a Segunda Chamada. Aqueles que permanecerem e entregarem definitivamente a prova não terão o direito à Segunda Chamada.

Verificação Suplementar

Em concordância com o Regulamento dos Cursos de graduação em seu Art. 99, a Verificação Suplementar (VS) é vetada aos discentes já aprovados e é obrigatória para aqueles que tenham obtido média parcial entre 4,0 e 5,9, sendo esses dois limites incluídos.

4 Listas de Exercícios

Abaixo seguem os execícios das referências [poole?] e [2] e, também os da lista de GA plana, que devem ser feitos a fim de se preparar para a avaliação escrita. Os exercícios marcado com o símbolo SAC no livro, devem ser feitos usando uma ferramenta computacional, como por exemplo o python.

Veja as listas em Material Básico.

A seguir, o símbolo ✏️ significa quais exercícios já podem ser feitos com o contéudo dado até o momento, enquanto o símbolo 🔒 se refere àqueles que ainda não. A medida que o conteúdo em sala for avançando, novos exercícios serão desbloqueados.

  • Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes
    🔒 [3] § 3.1 (Matrizes): 1, 11, 13, 17, 35.
    🔒 [3] § 3.2 (Matrizes): 1, 4, 23.
    🔒 [3] § 2.2 (Sistemas Lineares): 1, 3, 5, 15, 17, 27, 29, 31.
    🔒 [3] § 2.3 (Resolução de Sistemas Lineares): 9, 11, 13, 23, 25, 27, 29, 31, 39, 41, 43, 47.
    🔒 [3] § 3.4 (Matriz Inversa): 49, 53, 57, 51, 55, 45, 20, 21.
    🔒 [3] § 4.3 (Determinantes): 1, 3, 5, 7, 9, 13, 27, 29, 33, 47, 49, 51.

  • Geometria Analítica
    GA em \(\mathbb{R}^2\) fazer os exercícios desta lista de GA plana
    🔒 (Coordenadas e distância em \(\mathbb{R}^2\)): 1.1 (a,b,c), 1.3, 1.8.
    🔒 (Vetores e Produto escalar em \(\mathbb{R}^2\)): 2.1 (a), 2.2, 2.5(b), 2.6 (a,b), 2.7, 2.10.
    🔒(Equação da Reta): 4.2(a,b), 4.5, 4.6, 4.9, 4.18.
    GA em \(\mathbb{R}^3\)
    🔒 (Cônicas): 7.10 (apenas reconhecer e fazer um esboço).
    🔒 [2] 3.3 (Produtos Vetorias): 2, 3, 4, 5, 7.
    🔒 [3] § 1.4 (Retas e Planos): 3, 5, 7, 11, 15, 17, 21, 23.
    🔒 [2] 4.3 (Distância de ponto a reta): 8, 9.

  • Álgebra Linear
    🔒 [3] § 1.2 (Vetores em \(\mathbb{R}^n\)): 5, 11, 12, 14, 17.
    🔒 [3] § 1.3 (Produto Escalar em \(\mathbb{R}^n\)): 1, 3, 5, 7, 9, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 39, 46, 47, 51.
    🔒 [2] 5.1 (LI e LD): 1, 3, 4, 8.
    🔒 [3] § 3.5 (Subespaço,Base e Dimensão): 13, 15, 23, 26, 27, 28, 43.
    🔒 [2] 6.1 (Autovetores): 1, 2, 3, 5, 6, 7.
    🔒 [3] § 4.5 (Diagonalização): 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 40, 41.
    🔒 [1] § 5.1 (Ortogonalidade): 7, 9, 10, 11, 13, 15, 16, 17, 18, 21, 28, 29, 31.
    🔒 [1] § 5.3 (Ortogonalização Gram-Shcmidt): 1, 3, 5, 7, 9, 11.
    🔒 [1] § 5.4 (Diagonalização Ortogonal): 1, 3, 5-9, 13, 21, 23, 24.

5 Referências

1.
Poole D (2016) Álgebra Linear: uma introdução moderna, São Paulo, Editora Cengage Learning.
2.
Santos RJ (2014) Um curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear, Belo Horizonte, Imprensa Universitária da UFMG.
3.
Poole D (2004) Álgebra Linear, São Paulo, Editora Cengage Learning.
4.
Stewart J (2010) Cálculo, volume 2, 6a edição, São Paulo, Editora Cengage Learning.

6 Cronograma Efetivado

A seguir temos a proposta de cronograma para este curso. Esta proposta pode sofrer pequenas alterações ao longo do curso que, caso ocorram, serão comunicadas aos alunos. Cabe ressaltar que o semestre se encerra no dia 18/12 , neste caso, é aconselhado que fiquem disponíveis até esta data.

1. Matrizes, Sistemas lineares e Determinates;

01 .   Seg – 18/08 – Apresentação dos estudantes. Apresentação do curso.
02 .   Ter – 19/08 – Matrizes: definição, operações e propriedades. Matrizes identidade e transposta.
03 .   Seg – 25/08 – O espaço vetorial \(\mathbb{R}^n\). Sistemas de Equações Lineares. Operações Elementares.
04 .   Ter – 26/08 – Matriz aumentada. Escalonamento. Posto de uma matriz. Variáveis livres. Teorema do Posto. Classificação.
05 .   Seg – 01/09 – Método de Gauss-Jordan. Sistemas Lineares Homogêneos. Usando sympy para resolver sistemas lineares.
06 .   Ter – 02/09 – Matriz inversa e Método de inversão. Propriedades da Inversa. Invertendo matrizes com o sympy.
🏖️   Dom – 07/09 – Independência
07 .   Seg – 08/09 – Definição de Determinantes. Propriedades dos Determinantes.
08 .   Ter – 09/09 – Cálculo de determinantes por redução por linhas.
09 .   Seg – 15/09 – VA 1 (Verificação de Aprendizagem)
10 .   Ter – 16/09 – Coordenadas cartesianas no plano. Espaço Vetorial \(\mathbb{R}^2\). Representação Geométrica. Norma. Regra do paralelogramo.
11 .   Seg – 22/09 – Equações reduzida e segmentária da reta em \(\mathbb{R}^2\). Equação do círculo na origem.
12 .   Ter – 23/09 – Cônicas. Equações reduzidas da Elipse, hipérbole e Parábola.
13 .   Seg – 29/09 – Cônicas transladadas. Completamento de quadrados.
14 .   Ter – 30/09 – Produto escalar no \(\mathbb{R}^n\). Ângulo entre vetores.
15 .   Seg – 06/10 – Equação paramétrica da reta. Interpretação vetorial da equação cartesiana da reta em \(\mathbb{R}^2\).
16 .   Ter – 07/10 – O espaço vetorial \(\mathbb{R}^3\) e representação geométrica. Equação cartesina do Plano em \(\mathbb{R}^3\).
🏖️   Dom – 12/10 – Nossa Senhora Aparecida
17 .   Seg – 13/10 – VA 2 (Verificação de Aprendizagem)

2. Álgebra Linear no \(\mathbb{R}^n\)

18 .   Ter – 14/10 – Combinação linear. Dependência e Independência Linear
🏖️   Qua – 15/10 – Dia do Professor
🏖️   Seg – 20/10 – Semana Nacional de Ciência e Tecnologia
🏖️   Ter – 21/10 – Semana Nacional de Ciência e Tecnologia
🏖️   Seg – 27/10 – Ponto Facultativo
🏖️   Ter – 28/10 – Servidor Público
🏖️   Dom – 02/11 – Finados
19 .   Seg – 03/11 – Subespaço vetorial. Subespaço gerado. Núcleo de uma matriz.
20 .   Ter – 04/11 – Base e Dimensão.Espaço linha e Espaço coluna. Como obter bases de subespaços.
21 .   Seg – 10/11 – Definição de Autovetores e Autovalores. Autoespaços.
22 .   Ter – 11/11 – Matrizes semelhantes. Diagonalização de Matrizes. Exemplos de Diagonalização.
🏖️   Sáb – 15/11 – Proclamação da República
23 .   Seg – 17/11 – Projeção Ortogonal em \(\mathbb{R}^n\). Bases Ortogonais e Ortonormais.
24 .   Ter – 18/11 – Matrizes Ortogonais. Teorema Espectral para Matrizes Simétrica.
🏖️   Qui – 20/11 – Consciência Negra
25 .   Seg – 24/11 – Formas Quadráticas e Teorema dos Eixos Principais em \(\mathbb{R}^2\)
26 .   Ter – 25/11 – Rotação de cônicas.
27 .   Seg – 01/12 – Data reserva para reposição de aula, se necessário.
28 .   Ter – 02/12 – Data reserva para reposição de aula, se necessário.
29 .   Seg – 08/12 – VA 3 (Verificação de Aprendizagem)

Provas Finais

30 .   Ter – 09/12 – VR
31 .   Seg – 15/12 – VS
32 .   Ter – 16/12 – –
🔚   Qui – 18/12 – Fim do Período. 🙌

Dados do Semestre

dias letivos: 32
número total de aulas necessárias incluíndo provas: 31

número de feriados no semestre: 10
feriado em dias de aulas: 4

número total de semanas do semestre: 18
número de semanas sem os feriados: 16

7 Resultados

8 Cronograma Proposto Incialmente

Este foi o programa proposto no início do perído, que será mantido aqui para fins de comparação com o cronograma que realmente foi efetivado acima.

1. Matrizes, Sistemas lineares e Determinates;

01 .   Seg – 18/08 – Apresentação dos estudantes. Apresentação do curso.
02 .   Ter – 19/08 – Matrizes: definição, operações e propriedades. Matrizes identidade e transposta.
03 .   Seg – 25/08 – O espaço vetorial \(\mathbb{R}^n\). Sistemas de Equações Lineares. Operações Elementares.
04 .   Ter – 26/08 – Matriz aumentada. Escalonamento. Posto de uma matriz. Variáveis livres. Teorema do Posto. Classificação.
05 .   Seg – 01/09 – Método de Gauss-Jordan. Sistemas Lineares Homogêneos. Usando sympy para resolver sistemas lineares.
06 .   Ter – 02/09 – Matriz inversa e Método de inversão. Propriedades da Inversa. Invertendo matrizes com o sympy.
🏖️   Dom – 07/09 – Independência
07 .   Seg – 08/09 – Definição de Determinantes. Propriedades dos Determinantes.
08 .   Ter – 09/09 – Cálculo de determinantes por redução por linhas.
09 .   Seg – 15/09 – VA 1 (Verificação de Aprendizagem)
10 .   Ter – 16/09 – Coordenadas cartesianas no plano. Espaço Vetorial \(\mathbb{R}^2\). Representação Geométrica. Norma. Regra do paralelogramo.
11 .   Seg – 22/09 – Equações reduzida e segmentária da reta em \(\mathbb{R}^2\). Equação do círculo na origem.
12 .   Ter – 23/09 – Cônicas. Equações reduzidas da Elipse, hipérbole e Parábola.
13 .   Seg – 29/09 – Cônicas transladadas. Completamento de quadrados.
14 .   Ter – 30/09 – Produto escalar no \(\mathbb{R}^n\). Ângulo entre vetores.
15 .   Seg – 06/10 – Equação paramétrica da reta. Interpretação vetorial da equação cartesiana da reta em \(\mathbb{R}^2\).
16 .   Ter – 07/10 – O espaço vetorial \(\mathbb{R}^3\) e representação geométrica. Equação cartesina do Plano em \(\mathbb{R}^3\).
🏖️   Dom – 12/10 – Nossa Senhora Aparecida
17 .   Seg – 13/10 – VA 2 (Verificação de Aprendizagem)

2. Álgebra Linear no \(\mathbb{R}^n\)

18 .   Ter – 14/10 – Combinação linear. Dependência e Independência Linear
🏖️   Qua – 15/10 – Dia do Professor
🏖️   Seg – 20/10 – Semana Nacional de Ciência e Tecnologia
🏖️   Ter – 21/10 – Semana Nacional de Ciência e Tecnologia
🏖️   Seg – 27/10 – Ponto Facultativo
🏖️   Ter – 28/10 – Servidor Público
🏖️   Dom – 02/11 – Finados
19 .   Seg – 03/11 – Subespaço vetorial. Subespaço gerado. Núcleo de uma matriz.
20 .   Ter – 04/11 – Base e Dimensão.Espaço linha e Espaço coluna. Como obter bases de subespaços.
21 .   Seg – 10/11 – Definição de Autovetores e Autovalores. Autoespaços.
22 .   Ter – 11/11 – Matrizes semelhantes. Diagonalização de Matrizes. Exemplos de Diagonalização.
🏖️   Sáb – 15/11 – Proclamação da República
23 .   Seg – 17/11 – Projeção Ortogonal em \(\mathbb{R}^n\). Bases Ortogonais e Ortonormais.
24 .   Ter – 18/11 – Matrizes Ortogonais. Teorema Espectral para Matrizes Simétrica.
🏖️   Qui – 20/11 – Consciência Negra
25 .   Seg – 24/11 – Formas Quadráticas e Teorema dos Eixos Principais em \(\mathbb{R}^2\)
26 .   Ter – 25/11 – Rotação de cônicas.
27 .   Seg – 01/12 – Data reserva para reposição de aula, se necessário.
28 .   Ter – 02/12 – Data reserva para reposição de aula, se necessário.
29 .   Seg – 08/12 – VA 3 (Verificação de Aprendizagem)

Provas Finais

30 .   Ter – 09/12 – VR
31 .   Seg – 15/12 – VS
32 .   Ter – 16/12 – –
🔚   Qui – 18/12 – Fim do Período. 🙌