GAAL RCN00075 – 2025-1

$$\begin{array}{rl}a{x}^2+b{y}^2+cxy& =\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& c/2\\ c/2& b\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\\ & =X^{t}AX,\overline{X}=Q^{t}X\\ & ={\overline{X}}^{t}D\overline{X}\\ & =\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]\\ & ={\lambda }_1{\overline{x}}^2+{\lambda }_2{\overline{y}}^2.\end{array}$$

1 Informações Básicas

• Início e Fim do Período: 24/03/2025 a 26/07/2025.

• Horário e sala:
  2ª (16h às 18h) e 3ª (14h às 16h) Sala 02 – ICT
  confira no Quadro de Alocação de salas do ICT

• Material a ser utilizado

• Slides
  
• [Anotações das aulas]
  
• Livro GAAL – UFMG
  

• Lista Exercícios Poole (2004)
  
• Lista de Exercícios de GA
  
• Provas antigas
  

• Ementa: Busque por RCN00075 em quadro de horários:
  MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. DETERMINANTES. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO. RETAS E PLANOS. ESPAÇO ${\mathbb{R}}^n$. AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ. DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES. RECONHECIMENTO DE CÔNICAS.

• Monitoria:

2 Apresentação do Curso

Este curso é constituído de dois módulos:

1. Matrizes, Sistemas lineares, Determinates e Geometria Analítica;
2. Álgebra Linear no ${\mathbb{R}}^n$.

Usaremos como livro texto as referências [1] e [2]. A primeira está disponível para empréstimo na Biblioteca do campus – BRO. A segudna pode ser baixada aqui. É altamente recomendado que vocês consultem este material, de preferência, o livro físico.

As demais referência contidas na Seção 5 serão usadas como material auxiliar ao longo do curso.

3 Avaliação

A avaliação será feita mediante 3 Provas Escritas. A nota final (NF) será a média ponderada entre elas, dada da seguinte forma: $$NF=0.2\cdot P_1+0.3\cdot P_2+0.5\cdot P_3,$$ onde $P_i$ é a nota da i-ésima prova.

Objetivos

As provas tem como objetivos avaliar se o aluno:

• É capaz de interpretar as questões corretamente e formular soluções para os problemas propostos.
• É capaz de produzir soluções, em formato de texto, compreensíveis, com nível de detalhamento e rigor adequados para que outros profissionais familiarizados com os conceitos possam entendê-las.
• Aprendeu os conceitos e técnicas ensinados em sala de aula.
• Sabe determinar quando a solução proposta resolve de fato o problema.
• Consegue desenvolver uma argumentação lógica-dedutiva para chegar-se à resposta final.

Critério de correção das provas

Com base nos objetivos apresentados acima, os critério de correção serão:

1. Interpretação correta das questões.
2. As soluções devem ser escrita com clareza, organização, rigor e detalhamento.
3. Soluções desenvolvidas fora do conteúdo ensinado, mesmo que corretas, não serão consideradas.
4. Questão com várias soluções será anulada.
5. Resposta correta com solução errada será anulada.

Além disso, durante às provas, serão adotadas as seguinte medidas:

• Proibido compartilhar material.
• Só é permitida a saída após entrega definitiva da prova, ou seja, não é permitido ir ao banheiro ou beber água. A prova tem duração de no máximo 2 horas.
• É permitida a consulta a material (livros, notas de aula, caderno, apostilas e etc.) e uso de dispositivo computacional, como calculadora científica, ambos sem acesso a internet.
• Fraude detectada, mesmo depois, zera a nota.

Segunda Chamada

O Art. 98 do Regulamento dos Cursos de graduação garante ao aluno o direito a uma avaliação de Segunda Chamada (VR), sem a necessidade de justificativa! Portanto, aquele aluno que não puder ou não quiser fazer uma das provas, poderá faltar que seu direito à Segunda Chamada será garantido.

O conteúdo da Segunda Chamada será toda a matéria do semestre.

Importante

Como não há a necessidade de justificar a falta nas avaliações para ter o direito à Segunda Chamada garantido, alguns alunos usam este direito para fazer a Segunda Chamada quando não se sentem suficientemente preparados para alguma das avaliações.

Por conta disso, o aluno que estiver em dúvida entre fazer a prova ou a Segunda chamada, poderá comparecer no dia da prova e tentar fazê-la. Caso não se sinta preparado, poderá desistir e ainda terá o direito a fazer a Segunda Chamada. Aqueles que permanecerem e entregarem definitivamente a prova não terão o direito à Segunda Chamada.

Verificação Suplementar

Em concordância com o Regulamento dos Cursos de graduação em seu Art. 99, a Verificação Suplementar (VS) é vetada aos discentes já aprovados e é obrigatória para aqueles que tenham obtido média parcial entre 4,0 e 5,9, sendo esses dois limites incluídos.

4 Listas de Exercícios

Abaixo seguem os execícios das referências [1] e [2] e, também os da lista de GA plana, que devem ser feitos a fim de se preparar para a avaliação escrita. Os exercícios marcado com o símbolo SAC no livro, devem ser feitos usando uma ferramenta computacional, como por exemplo o python.

Veja as listas em Material Básico.

• Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes
  [1] § 3.1 (Matrizes): 1, 11, 13, 17, 35.
  [1] § 3.2 (Matrizes): 1, 4, 23.
  [1] § 2.2 (Sistemas Lineares): 1, 3, 5, 15, 17, 27, 29, 31.
  [1] § 2.3 (Resolução de Sistemas Lineares): 9, 11, 13, 23, 25, 27, 29, 31, 39, 41, 43, 47.
  [1] § 3.4 (Matriz Inversa): 49, 53, 57, 51, 55, 45, 20, 21.
  [1] § 4.3 (Determinantes): 1, 3, 5, 7, 9, 13, 27, 29, 33, 47, 49, 51.
  

• Geometria Analítica
  GA em ${\mathbb{R}}^2$ fazer os exercícios desta lista de GA plana
  (Coordenadas e distância em ${\mathbb{R}}^2$): 1.1 (a,b,c), 1.3, 1.8.
  (Vetores e Produto escalar em ${\mathbb{R}}^2$): 2.1 (a), 2.2, 2.5(b), 2.6 (a,b), 2.7, 2.10.
  (Equação da Reta): 4.2(a,b), 4.5, 4.6, 4.9, 4.18.
  GA em ${\mathbb{R}}^3$
  [2] 3.3 (Produtos Vetorias): 2, 3, 4, 5, 7.
  [1] § 1.4 (Retas e Planos): 3, 5, 7, 11, 15, 17, 21, 23.
  [2] 4.3 (Distância de ponto a reta): 8, 9.
  

• Álgebra Linear
  [1] § 1.2 (Vetores em ${\mathbb{R}}^n$): 5, 11, 12, 14, 17.
  [1] § 1.3 (Produto Escalar em ${\mathbb{R}}^n$): 1, 3, 5, 7, 9, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 39, 46, 47, 51.
  [2] 5.1 (LI e LD): 1, 3, 4, 8.
  [1] § 3.5 (Subespaço,Base e Dimensão): 13, 15, 23, 26, 27, 28, 43.
  [2] 6.1 (Autovetores): 1, 2, 3, 5, 6, 7.
  [1] § 4.5 (Diagonalização): 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27. 

🚧 Em construção…

5 Referências

1.

Poole D (2004) Álgebra Linear, São Paulo, Editora Cengage Learning.

2.

Santos RJ (2014) Um curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear, Belo Horizonte, Imprensa Universitária da UFMG.

3.

Stewart J (2010) Cálculo, volume 2, 6a edição, São Paulo, Editora Cengage Learning.

6 Cronograma Efetivado

A seguir temos a proposta de cronograma para esta disciplina. Esta proposta pode sofrer pequenas alterações ao longo do semestre que, caso ocorram, serão comunicadas aos alunos. Cabe ressaltar que o semestre se encerra no dia 27/07, neste caso, é aconselhado que fiquem disponíveis até esta data.

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1. Matrizes, Sistemas lineares, Determinates e Geometria Analítica;

01 .   Seg – 24/03 – Apresentação do curso. Coordenadas cartesianas no plano. Espaço Vetorial ${\mathbb{R}}^2$. Representação Geométrica. Norma. Regra do paralelogramo.
02 .   Ter – 25/03 – O espaço vetorial ${\mathbb{R}}^3$ e representação geométrica. O espaço vetorial ${\mathbb{R}}^n$. Norma e vetor unitário. Combinação Linear.
03 .   Seg – 31/03 – Matrizes: definição, operações e propriedades. Matrizes identidade e transposta.
04 .   Ter – 01/04 – Operações usando o sympy. Produto escalar no ${\mathbb{R}}^n$. Ângulo entre vetores. Produto escalar usando o sympy.
05 .   Seg – 07/04 – Demonstração da Fórmula do ângulo. Equação paramétrica da reta. Equações Cartesianas da Reta em ${\mathbb{R}}^2$
06 .   Ter – 08/04 – Equações Cartesianas da Reta em ${\mathbb{R}}^2$ continuação. Equação cartesina do Plano em ${\mathbb{R}}^3$. Sistemas de Equações Lineares. Operações Elementares.
🏖️   Qui – 10/04 – Feriado Municipal
07 .   Seg – 14/04 – Matriz aumentada. Escalonamento. Posto de uma matriz. Variáveis livres. Teorema do Posto. Classificação. Método de Gauss-Jordan.
08 .   Ter – 15/04 – Usando sympy para resolver sistemas lineares. Sistemas Lineares Homogêneos. Matriz inversa e Método de inversão. Propriedades da Inversa. Invertendo matrizes com o sympy.
🏖️   Sex – 18/04 – Sexta-feira da Paixão
🏖️   Seg – 21/04 – Tiradentes
🏖️   Ter – 22/04 – Não Haverá Aula
🏖️   Qua – 23/04 – São Jorge
09 .   Seg – 28/04 – Aula de Exercícios
10 .   Ter – 29/04 – 1ª Prova
🏖️   Qui – 01/05 – Dia do Trabalho
11 .   Seg – 05/05 – Definição de Determinantes. Propriedades dos Determinantes. Cálculo de determinantes por redução por linhas.
12 .   Ter – 06/05 – Definição de Produto Vetorial. Propriedades do Produto Vetorial.
13 .   Seg – 12/05 – Produto Misto. Volumes do Paralelepípedo. Distâncias: entre Ponto e Plano
14 .   Ter – 13/05 – Distância de ponto à Reta. Distâncias: Entre Retas, entre reta e Plano

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2. Álgebra Linear no ${\mathbb{R}}^n$

15 .   Seg – 19/05 – O espaço vetorial ${\mathbb{R}}^n$. Norma e vetor unitário. Produto escalar no ${\mathbb{R}}^n$. Produto escalar usando o sympy.
16 .   Ter – 20/05 – Dependência e Independência Linear
17 .   Seg – 26/05 – Posição Relativa de retas e planos. Subespaço vetorial.
18 .   Ter – 27/05 – 2ª Prova
19 .   Seg – 02/06 – Subespaço gerado. Base e Dimensão
20 .   Ter – 03/06 – Núcleo de uma matriz. Espaço linha e Espaço coluna.
21 .   Seg – 09/06 – Como obter bases de subespaços. Definição de Autovetores e Autovalores
22 .   Ter – 10/06 – Autoespaços. Matrizes semelhantes. Diagonalização de Matrizes.
23 .   Seg – 16/06 – Exemplos de Diagonalização. Diagonalizando com sympy. Projeção Ortogonal. Bases Ortogonais e Ortonormais.
24 .   Ter – 17/06 – Processo de Ortogonalização de Gram-Schimidt. Matrizes Ortogonais. Teorema Espectral.
🏖️   Qui – 19/06 – Corpus Christ
🏖️   Sex – 20/06 – Ponto Facultativo
25 .   Seg – 23/06 – Completamento de Quadrados. Cônicas. Equações reduzidas da Elipse, hipérbole e Parábola.
26 .   Ter – 24/06 – Translação de Cônicas. Formas Quadráticas e Teorema dos Eixos Principais em ${\mathbb{R}}^2$
27 .   Seg – 30/06 – Rotação de cônicas.
28 .   Ter – 01/07 – Aula de Exercícios 2
29 .   Seg – 07/07 – 3ª Prova

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Provas Finais

30 .   Ter – 08/07 – 2ª Chamada
31 .   Seg – 14/07 – VS
32 .   Ter – 15/07 – –
33 .   Seg – 21/07 – –
34 .   Ter – 22/07 – –
🔚   Sáb – 26/07 – Fim do Período. 🙌

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7 Cronograma Proposto Inicialmente

Este foi o programa proposto no início do perído, que será mantido aqui para fins de comparação com o cronograma que realmente foi efetivado acima.

1. Matrizes, Sistemas lineares, Determinates e Geometria Analítica;

01 .   Seg – 24/03 – Apresentação do curso. Coordenadas cartesianas no plano. Espaço Vetorial ${\mathbb{R}}^2$. Representação Geométrica. Norma. Regra do paralelogramo.
02 .   Ter – 25/03 – O espaço vetorial ${\mathbb{R}}^3$ e representação geométrica. O espaço vetorial ${\mathbb{R}}^n$. Norma e vetor unitário. Combinação Linear.
03 .   Seg – 31/03 – Matrizes: definição, operações e propriedades. Matrizes identidade e transposta.
04 .   Ter – 01/04 – Operações usando o sympy. Produto escalar no ${\mathbb{R}}^n$. Ângulo entre vetores. Produto escalar usando o sympy.
05 .   Seg – 07/04 – Demonstração da Fórmula do ângulo. Equação paramétrica da reta. Equações Cartesianas da Reta em ${\mathbb{R}}^2$
06 .   Ter – 08/04 – Equações Cartesianas da Reta em ${\mathbb{R}}^2$ continuação. Equação cartesina do Plano em ${\mathbb{R}}^3$. Sistemas de Equações Lineares. Operações Elementares.
🏖️   Qui – 10/04 – Feriado Municipal
07 .   Seg – 14/04 – Matriz aumentada. Escalonamento. Posto de uma matriz. Variáveis livres. Teorema do Posto. Classificação. Método de Gauss-Jordan.
08 .   Ter – 15/04 – Usando sympy para resolver sistemas lineares. Sistemas Lineares Homogêneos. Matriz inversa e Método de inversão. Propriedades da Inversa. Invertendo matrizes com o sympy.
🏖️   Sex – 18/04 – Sexta-feira da Paixão
🏖️   Seg – 21/04 – Tiradentes
🏖️   Ter – 22/04 – Não Haverá Aula
🏖️   Qua – 23/04 – São Jorge
09 .   Seg – 28/04 – Aula de Exercícios
10 .   Ter – 29/04 – 1ª Prova
🏖️   Qui – 01/05 – Dia do Trabalho
11 .   Seg – 05/05 – Definição de Determinantes. Propriedades dos Determinantes. Cálculo de determinantes por redução por linhas.
12 .   Ter – 06/05 – Definição de Produto Vetorial. Propriedades do Produto Vetorial.
13 .   Seg – 12/05 – Produto Misto. Volumes do Paralelepípedo. Distâncias: entre Ponto e Plano
14 .   Ter – 13/05 – Distância de ponto à Reta. Distâncias: Entre Retas, entre reta e Plano

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2. Álgebra Linear no ${\mathbb{R}}^n$

15 .   Seg – 19/05 – O espaço vetorial ${\mathbb{R}}^n$. Norma e vetor unitário. Produto escalar no ${\mathbb{R}}^n$. Produto escalar usando o sympy.
16 .   Ter – 20/05 – Dependência e Independência Linear
17 .   Seg – 26/05 – Posição Relativa de retas e planos. Subespaço vetorial.
18 .   Ter – 27/05 – 2ª Prova
19 .   Seg – 02/06 – Subespaço gerado. Base e Dimensão
20 .   Ter – 03/06 – Núcleo de uma matriz. Espaço linha e Espaço coluna.
21 .   Seg – 09/06 – Como obter bases de subespaços. Definição de Autovetores e Autovalores
22 .   Ter – 10/06 – Autoespaços. Matrizes semelhantes. Diagonalização de Matrizes.
23 .   Seg – 16/06 – Exemplos de Diagonalização. Diagonalizando com sympy. Projeção Ortogonal. Bases Ortogonais e Ortonormais.
24 .   Ter – 17/06 – Processo de Ortogonalização de Gram-Schimidt. Matrizes Ortogonais. Teorema Espectral.
🏖️   Qui – 19/06 – Corpus Christ
🏖️   Sex – 20/06 – Ponto Facultativo
25 .   Seg – 23/06 – Completamento de Quadrados. Cônicas. Equações reduzidas da Elipse, hipérbole e Parábola.
26 .   Ter – 24/06 – Translação de Cônicas. Formas Quadráticas e Teorema dos Eixos Principais em ${\mathbb{R}}^2$
27 .   Seg – 30/06 – Rotação de cônicas.
28 .   Ter – 01/07 – Aula de Exercícios 2
29 .   Seg – 07/07 – 3ª Prova

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Provas Finais

30 .   Ter – 08/07 – 2ª Chamada
31 .   Seg – 14/07 – VS
32 .   Ter – 15/07 – –
33 .   Seg – 21/07 – –
34 .   Ter – 22/07 – –
🔚   Sáb – 26/07 – Fim do Período. 🙌

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