Minicurso EDOs em Espaços de Banach – 2025-Verão

\[\begin{equation*} \begin{cases} x'(t)={\color{red}A}x+{\color{black}f},& t\in [0,+\infty)\\ x(0)=x_0 \end{cases} \end{equation*}\] \[\begin{equation*} x(t)=e^{t\color{red}A}x_0+\int_0^t e^{(t-s){\color{red}A}}f(s)ds \end{equation*}\]

Informações Básicas

  • Professores: Luiz Viana (UFF – Campus Niterói ) e Reginaldo Demarque (UFF – Campus Rio das Ostras)

  • Período: 12/02/2025 a 21/02/2025 na Escola de Verão da PGMAT-UFF

  • Nível: Graduação e Mestrado.

  • Público alvo: O presente minicurso tem como público alvo alunos dos cursos de graduação e mestrado, a distância ou presencial, em Matemática.

  • Horário e sala:

    • 11h às 13h dos dias 12, 13, 14, 19, 20 e 21 de fevereito de 2025.
    • Auditório 407 do Bloco H do PGMAT-UFF.

  • Material a ser utilizado

  • Programação: Neste minicurso, temos o objetivo de introduzir a Teoria dos Semigrupos Lineares, que consiste no estudo das equações diferenciais ordinárias, com valores em espaços de Banach, associadas a operadores lineares limitados ou ilimitados. Brevemente, vale ressaltar que tal estudo foi iniciado a partir da segunda metade do século XX, destacando-se a obtenção do importante teorema de Hille-Yosida em 1948. Nas décadas de 70 e 80, através de muitas contribuições vindas de diferentes escolas de Matemática, o tema se consolidou nos moldes que o conhecemos hoje, o que pode ser constatado com os trabalhos E. B. Davies, J. A. Goldstein e A. Pazy, entre outros. Nas exposições pretendidas, abordaremos resultados abstratos básicos da teoria e, ao final, apresentaremos algumas aplicações relacionadas às equações diferenciais parciais.

  • Pré-requistos: Análise Real e Equações Diferenciais Ordinárias.

Cronograma

O presente minicurso corresponde às seções 1.1 a 1.3 da referência (Pazy, 2012).

01 .   Qua – 12/02 – Apresentação do minicurso. Espaços de Banach \(X\). Operadores Lineares Limitados. Exponencial de Operadores em \(\mathcal{L}(X)\).

02 .   Qui – 13/02 – Definição de Semigrupos de classe \(C^0\). Exemplos. Teorema de Banach-Steinhauss. Limitação e continuidade de semigrupos.

03 .   Sex – 14/02 – Gerador Infinitesimal de um Semigrupo. Existência e Unicidade do PVI para geradores infinitesimais.

04 .   Qua – 19/02 – Espectro de um semigrupo. Resolvente de um operador. Teorema do Gráfico Fechado. O Teorema de Hille-Yosida para contrações: (\(\Rightarrow\))

05 .   Qui – 20/02 – Semigrupos das Contrações. Aproximação de Yosida. O Teorema de Hille-Yosida para contrações: (\(\Leftarrow\)).

06 .   Sex – 21/02 – Aplicações em EDPs. Perspectivas de Pesquisa.

Referências

  • Brezis, Haim. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer, New York-London, 2011.

  • Engel, Klaus-Jochen, and Rainer Nagel. One-parameter semigroups for linear evolution equations. Graduate Text in Mathematics 194, Springer-Verlag New York, 2000.

  • Engel, Klaus-Jochen, and Rainer Nagel. A short course on operator semigroups. Springer Science & Business Media, 2006.

  • Evans, Lawrence C. Partial differential equations, volume 19. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2010.

  • Gomes, Alvercio Moreira. Semigrupos de Operadores Lineares e Aplicações às Equações de Evolução, volume 2ª edição. Editora UFRJ, Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2005.

  • Kesavan, S. Topics in Functional Analysis and Applications, volume 52. New Age International Ltd, New Delhi, 2015.

  • Pazy, Amnon. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. Vol. 44. Springer Science & Business Media, 2012.