Exemplo 3.1: Determine o ângulo entre os vetores u=(1,0) e v=(\(\sqrt{3}\),1)

import sympy as sp
sp.init_printing(use_latex='mathjax')

#definindo os vetores
u=sp.Matrix([1,0])
v=sp.Matrix([sp.sqrt(3),1])
print('Vetores')
display(u,v)


#calculando o produto escalar
uv=u.dot(v)
print('produto escalar entre u e v')
display(uv)

#calculando a norma dos vetores
nu=u.norm()
nv=v.norm()
print('norma de u e v')
display(nu,nv)

#calculando o cosseno do angulo
cos=uv/(nu*nv)

#obtendo o ângulo
theta=sp.acos(cos)
print('Ângulo entre os vetores')
display(theta)
Vetores
⎡1⎤
⎢ ⎥
⎣0⎦
⎡√3⎤
⎢  ⎥
⎣1 ⎦
produto escalar entre u e v
√3
norma de u e v
1
2
Ângulo entre os vetores
π
─
6

Exemplo 3.2: Encontre os vetores com norma \(2\sqrt{3}\) e perpendiculares a v=(2,3). Qual forma ângulo agudo com (1,0)?

import sympy as sp
sp.init_printing(use_latex='mathjax')

#definindo os vetores
v=sp.Matrix([2,3])
vperp=sp.Matrix([v[1],-v[0]])
print('Um vetor perpendicular a v')
display(vperp)

#vetor buscado
t=sp.symbols('t',real=True)
u=t*vperp
print('Vetor u buscado é da forma')
display(u)


#escrevendo a equação
n=2*sp.sqrt(13)
eq=sp.Eq(u.dot(u),n**2)
print('Equação dada pela norma de u')
display(eq)

#resolvendo a equação
sol=sp.solve(eq,t)
print('Solução da equação')
display(sol)

#determinando os vetores
print('vetor u1 com t=',sol[0])
u1=u.subs(t,sol[0])
display(u1)

print('vetor u2 com t=',sol[1])
u2=u.subs(t,sol[1])
display(u2)

#determinando o que forma ângulo agudo com (1,0)
w=sp.Matrix([1,0])
print('u1.(1,0)')
display(u1.dot(w))
print('u2.(1,0)')
display(u2.dot(w))
Um vetor perpendicular a v
⎡3 ⎤
⎢  ⎥
⎣-2⎦
Vetor u buscado é da forma
⎡3⋅t ⎤
⎢    ⎥
⎣-2⋅t⎦
Equação dada pela norma de u
    2     
13⋅t  = 52
Solução da equação
[-2, 2]
vetor u1 com t= -2
⎡-6⎤
⎢  ⎥
⎣4 ⎦
vetor u2 com t= 2
⎡6 ⎤
⎢  ⎥
⎣-4⎦
u1.(1,0)
-6
u2.(1,0)
6