Exemplo 1: Determine as coordenadas do vetor \(\vec{u}\) que possui a mesma direção e sentodo do vetor \(\vec{v}=(-2,4,2)\) e tenha comprimento 6.

import sympy as sp
sp.init_printing(use_latex='mathjax')

v=sp.Matrix([-2,4,2])


#procurando um multiplo de v, com t positivo
t=sp.symbols('t',positive=True)
u=t*v

#encontrar t tal que u seja múltiplo de v e com norma 6
T=sp.solve(u.norm()-6,t)
print('Escalar tal que multiplicado por v nos dá u buscado')
display(T)

print('Vetor u buscado')
display(T[0]*v)

Escalar tal que multiplicado por v nos dá u buscado

⎡√6⎤
⎢──⎥
⎣2 ⎦

Vetor u buscado

⎡-√6 ⎤
⎢    ⎥
⎢2⋅√6⎥
⎢    ⎥
⎣ √6 ⎦

Exemplo 2: Sejam A=(-1,4,-2) e B=(7,-4,2). Determinar P no segmento AB que está a 3/4 do caminho de A a B.

import sympy as sp
sp.init_printing(use_latex='mathjax')

A=sp.Matrix([-1,4,-2])
B=sp.Matrix([7,-4,2])

#vetor AB
AB=B-A

#Ponto P
P=A+3/4*AB
display(P)

⎡5.0 ⎤
⎢    ⎥
⎢-2.0⎥
⎢    ⎥
⎣1.0 ⎦

Exemplo 3: Determine os vetores ortogonais a um vetor \(\vec{u}\) dado, com mesmo comprimeto de \(\vec{u}\) e paralelo ao plano XY.

import sympy as sp
sp.init_printing(use_latex='mathjax')


#gerando um vetor aleatório
u=sp.randMatrix(3, 1) 
print('Vetor u aleatório dado')
display(u)
print('Norma do vetor u')
n=u.norm()
display(n)

#variáveis
x,y,z=sp.symbols('x y z',real=True)

#vetor paralelo ao plano XY
uxy=sp.Matrix([x,y,0])
print('Vetor paralelo ao plano XY')
display(uxy)

#vetor ortogonal a u
print('Equação ortogonalidade')
eq1=sp.Eq(uxy.dot(u),0)
display(eq1)

#norma do vetor uxy
print('Equação dada pela norma')
eq2=sp.Eq(uxy.dot(uxy),n**2)
display(eq2)

#solução do sistema
sol=sp.solve((eq1,eq2),(x,y))
print('solução')
display(sol)

print('vetor 1')
u1=uxy.subs({x:sol[0][0], y: sol[0][1]})
display(u1)

print('vetor 2')
u2=uxy.subs({x:sol[1][0], y: sol[1][1]})
display(u2)

Vetor u aleatório dado

⎡47⎤
⎢  ⎥
⎢11⎥
⎢  ⎥
⎣83⎦

Norma do vetor u

√9219

Vetor paralelo ao plano XY

⎡x⎤
⎢ ⎥
⎢y⎥
⎢ ⎥
⎣0⎦

Equação ortogonalidade

47⋅x + 11⋅y = 0

Equação dada pela norma

 2    2       
x  + y  = 9219

solução

⎡⎛-11⋅√21480270   47⋅√21480270⎞  ⎛11⋅√21480270  -47⋅√21480270 ⎞⎤
⎢⎜──────────────, ────────────⎟, ⎜────────────, ──────────────⎟⎥
⎣⎝     2330           2330    ⎠  ⎝    2330           2330     ⎠⎦

vetor 1

⎡-11⋅√21480270 ⎤
⎢──────────────⎥
⎢     2330     ⎥
⎢              ⎥
⎢ 47⋅√21480270 ⎥
⎢ ──────────── ⎥
⎢     2330     ⎥
⎢              ⎥
⎣      0       ⎦

vetor 2

⎡ 11⋅√21480270 ⎤
⎢ ──────────── ⎥
⎢     2330     ⎥
⎢              ⎥
⎢-47⋅√21480270 ⎥
⎢──────────────⎥
⎢     2330     ⎥
⎢              ⎥
⎣      0       ⎦