Esboçar uma curva parametriza utilizando o python é extremamente fácil. Para isso, vamos fazer uso de duas bibliotecas o matplotlib.plot, para fazer o gráfico, e o numpy para os cálculos numéricos.
Vamos começar com um exemplo bem simples no plano. Vamos esboçar o círculo de centro na origem e raio 1, isto é, \[\vec{r}(t)=(\cos(t),\sin(t)),\ t\in [0,2\pi].\] A seguir vemos o script que fornece o esboço da curva.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#discretização do parâmetro
t = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
# discretização dos pontos
x=np.cos(t)
y=np.sin(t)
#plota os pontos
plt.plot(x,y)
#faz os eixos com mesma scala
plt.axis('square')
#faz a malha
plt.grid()
#exibe o gráfico
plt.show()
Vejamos por exemplo como esboçar a seguinte hélice \[\vec{r}(t)=(\cos(t),\sin(t),t),\ t\in [0,2\pi].\]
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#variação do parâmetro
t = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
#coordendas da curva
x=np.cos(t)
y=np.sin(t)
z=t
fig = plt.figure()
ax = plt.axes(projection='3d')
ax.plot(x,y,z)
plt.show()
Agora, vamos mostrar como parametrizar uma curva dada pela interseção de duas superfícies. Comecemos com a interseção do plano \(z=x+2\) e o cilindro \(x^2+y^2=1\). A seguir vemos um esboço1 dessa duas superfícies. Sabemos, da geometria, que a curva de interseção será uma elipse, mas como parametrizá-la?
Simples! A equação do cilindro \(x^2+y^2=1\) nos diz que a base do cilindro no plano \(xy\) é um círculo de centro na origem e raio 1. Portanto, podemos parametrizar essa base por: \[\vec{\alpha}(t)=(\cos(t),\sin(t),0), \ t\in [0,2\pi].\]
Note que as duas primeiras coordenadas dão a parametrização do círculo no plano e a terceira, \(z=0\), faz com que este círculo seja plotado no \(xy\), como a seguir:
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#variação do parâmetro
t = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
#coordendas da curva
x=np.cos(t)
y=np.sin(t)
z=0
fig = plt.figure()
ax = plt.axes(projection='3d')
ax.plot(x,y,z)
plt.show()
Agora, o que queremos é que, enquanto as coordenadas \(x\) e \(y\) percorram este círculo a medida que o parâmetro \(t\) varie, a altura \(z\) seja dada pelo plano \(z=x+2\), ou seja, \[\vec{r}(t)=(\cos(t),\sin(t),\cos(t)+2), \ t\in [0,2\pi].\] A seguir esboçamos as duas curvas juntas, o círculo da base e a elípse de interseção do plano com o cilindro.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#variação do parâmetro
t = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
#coordendas da curva
x=np.cos(t)
y=np.sin(t)
z=0
z1=x+2
fig = plt.figure()
ax = plt.axes(projection='3d')
ax.plot(x,y,z)
ax.plot(x,y,z1)
ax.view_init(elev=20, azim=-130)
plt.show()
O mesmo raciocínio pode ser aplicado em diversas outras situações. Como por exemplo, determine a parametrização da curva dada pela inserseção de dois paraboloides: \(z=2x^2+\frac{1}{2}y^2\) e \(z=4-2x^2-\frac{3}{2}y^2.\) Novamente, vamos plotar as duas superfícies para visualizarmos a inteserção. Também destacamos a curva de interseção em vermelho, a qual queremos parametrizar.
A fim de encontrarmos a parametrização da curva de interseção, vamos igualar as coordenadas \(z\) das duas equações, isto é, \[2x^2+\frac{1}{2}y^2=4-2x^2-\frac{3}{2}y^2\Rightarrow 4x^2+2y^2=4\Rightarrow x^2+\frac{y^2}{2}=1.\] Esta última equação, como não tem a variável \(z\), nos fornece uma equação de elipse no plano \(xy\), o que é interpretado geometricamente como a projeção neste plano da curva que estamos buscando! Como já sabemos parametrizar uma elipse, reptindo o raciocínio anterior, uma parametrização desta curva é: \[\vec{\alpha}(t)=(\cos(t),\sqrt{2}\sin(t),0),\ t\in [0,2\pi].\] Enquanto o parâmetro \(t\) varia, as coordenadas \(x\) e \(y\) percorrem a elipse no plano \(z=0\). Agora, basta tomarmos \(z\) sobre um dos parabolóides, por exemplo \(z=2x^2+\frac{1}{2}y^2=2\cos^2(t)+\sin^2(t)=\cos^2(t)+1\), isto nos fornece: \[\vec{r}(t)=(\cos(t),\sqrt{2}\sin(t),\cos^2(t)+1),\ t\in [0,2\pi].\] A seguir esobaçamos as duas curvas juntas. A curva vermelha é a curva de interseção dos dois parabolóides e a curva azul é a projeção dela sobre o plano \(xy\) que usamos como auxiliar.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#variação do parâmetro
t = np.linspace(0, 2*np.pi, 200)
#coordendas da curva
x=np.cos(t)
y=np.sqrt(2)*np.sin(t)
z=np.cos(t)**2+1
z1=0
fig = plt.figure()
ax = plt.axes(projection='3d')
ax.plot(x,y,z1)
ax.plot(x,y,z,color='r')
plt.show()
utilizamos o octave para produzir essa figura, mas não vamos entrar nos detalhes de como fazer isso.↩︎