EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS II – 2026-1

\[\begin{equation*} \begin{cases} u_t+Lu=f, & \text{ em } \Omega \times (0,T)\\ u=0, & \text{ em } \partial\Omega\\ u=g, & \text{ em } \Omega \end{cases} \end{equation*}\]

Informações Básicas

  • Início e Fim do Período: 09/03/26 a 10/07/26

  • Horário e sala:

Dia Horário Sala Professor
Segunda 11h - 13h Auditório da PGMAT Luiz Viana
Quarta 11h - 13h Auditório da PGMAT Reginaldo Demarque
Sexta 11h - 13h Auditório da PGMAT Luiz Viana

  • Material a ser utilizado

  • Slides

Cronograma Efetivado

A seguir temos a proposta de cronograma para este curso. Esta proposta pode sofrer pequenas alterações ao longo do curso que, caso ocorram, serão comunicadas aos alunos. Cabe ressaltar que o semestre se encerra no dia 10/07 , neste caso, é aconselhado que fiquem disponíveis até esta data.

1. Distribuições

01 .   Seg – 09/03 – Apresentação do curso. Preliminares: Teorema de Fubini, espaços \(L^p\), Desigualdade de Hölder. Partição da Unidade. Suporte de funções.
02 .   Qua – 11/03 – Convolução. Desigualdade de Young.
03 .   Sex – 13/03 – Derivação de convolução. Funções regularizantes: definição e exemplo.
04 .   Seg – 16/03 – Convergência das regularizações. Densidade de \(C_c^\infty(\Omega)\) em \(L^p(\Omega)\). Lema de Du Bois Raymond.
05 .   Qua – 18/03 – Espaços das funções testes e distribições. Convergência. Derivação de distribuições.
06 .   Sex – 20/03 – Derivada Fraca. Multiplicação de uma distribuição por funções \(C^\infty\).

2. Espaços de Sobolev

07 .   Seg – 23/03 – Definição de Espaços de Sobolev e exemplos.
08 .   Qua – 25/03 – Espaços de Sobolev são espaços de Banach, reflexivos e separáveis.
09 .   Sex – 27/03 – \(W^{k,p}(\mathbb{R}^d)=W_0^{k,p}(\mathbb{R}^d)\).
10 .   Seg – 30/03 – Aproximação por Funções Suaves. Teorema de Friedrichs.
11 .   Qua – 01/04 – Teorema de Meyers-Serrin.
🏖️   Sex – 03/04 – Sexta-feira da Paixão
12 .   Seg – 06/04 – Regra da Cadeia. Contra-exemplo Meyers-Serrin \(p=+\infty\). Funções em \(W^{k,p}(\Omega)\) com suporte compacto estão em \(W_0^{k,p}(\Omega)\).
13 .   Qua – 08/04 – Teorema de Meyers-Serrin (finalização). Definição de Operador Prolongamento. Definição de \(\partial\Omega\) de classe \(C^k\). Corolário do Teorema do Prolongamento.
14 .   Sex – 10/04 – Lema do Teorema do Prolongamento: Caso \(\Omega=Q_1^+\)
15 .   Seg – 13/04 – Lema do Teorema do Prolongamento finalização.
16 .   Qua – 15/04 – Operador Traço: caso \(\Omega=\mathbb{R}^N_+\).
17 .   Sex – 17/04 – Demonstração do Teorema do Prolongamento.
🏖️   Seg – 20/04 – Ponto Facultativo
🏖️   Ter – 21/04 – Tiradentes
🏖️   Qua – 22/04 – Ponto Facultativo
18 .   Sex – 24/04 – Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev
19 .   Seg – 27/04 – Corolário da Des. G-N-S. Imersão p=N. Definição de funções Hölder contínuas.
20 .   Qua – 29/04 – Teorema do Traço. \(\ker(\gamma_0)=W_0^{1,p}(\Omega)\).
🏖️   Sex – 01/05 – Dia do Trabalho
21 .   Seg – 04/05 – Desigualdade de Morrey.
22.   Qua – 06/05 – Integração por partes em \(W^{1,p}(\Omega)\). Enunciado do traço geral para \(H^k(\Omega)\). Espaços \(H^{-1}(\Omega)\)
🏖️   Sex – 08/05 – Participação em Congresso
23 .   Seg – 11/05 – Imersões de Sobolev: Casos \(\Omega\subset \mathbb{R}^N\). Desigualdade de Poincaré.
24 .   Qua – 13/05 – Imersões Compactas: Teorema de Rellich-Kondrachov.

  Qui – 21/05 – VA 1 (Verificação de Aprendizagem)

3. Problemas Elípticos

25 .   Sex – 15/05 – Introdução ao problema elíptico. Definição de Solução fraca. Teorema de Lax-Milgran.
26 .   Seg – 18/05 – Estimativas de energia. 1º Teorema de existência de solução fraca. Operador adjunto.
27 .   Qua – 20/05 – Alternativa de Fredholm e 2º Teorema de Existência.
29 .   Sex – 22/05 – 3º Teorema de Existência: Problemas de autovalores
30 .   Seg – 25/05 – Limitação da Inversa; regularidade do problema elíptico.
31 .   Qua – 27/05 – Distribuições Vetoriais
32 .   Sex – 29/05 – Princípio do máximo fraco.
33 .   Seg – 01/06 – Princípio do máximo fraco com c=0 (continuação); Demonstração o princípio do máximo fraco para c>=0
34 .   Qua – 03/06 – O problema Parabólico. Definição de Solução Fraca. Base hilbertiana de autofunções do laplaciano.
🏖️   Qui – 04/06 – Corpus Christ
🏖️   Sex – 05/06 – Ponto Facultativo
35 .   Seg – 08/06 – Lema de Hopf
36 .   Qua – 10/06 – Enunciado do Teorema de Existência. Desigualdade de Energia para uma solução fraca, dependência continua dos dados e prova da unicidade. Aproximações de Galerkin.
37 .   Sex – 12/06 –
38 .   Seg – 15/06 –
39 .   Qua – 17/06 –
40 .   Sex – 19/06 –
41 .   Seg – 22/06 –
🏖️   Qua – 24/06 – Feriado Municipal
42 .   Sex – 26/06 –
43 .   Seg – 29/06 –
44 .   Qua – 01/07 –
45 .   Sex – 03/07 –
46 .   Seg – 06/07 –
47 .   Qua – 08/07 –
48 .   Sex – 10/07 –
🔚   Sex – 10/07 – Fim do Período. 🙌

Lista de Tópicos

  • Caracterização de \(W^{1,\infty}\).
  • Desigualdade de Hardy e Teorema de Rademarcher.
  • 3º Teorema de Existência de solução.
  • Quociente de diferenças. Regularidade interior.
  • Regularidade interior continuação.Regularidade na Fronteira.
  • Princípios do Máximo fraco
  • Princípios do Máximo forte
  • Desigualdade de Harnack
  • Autovalores e Autofunções

4. Problemas Parbólicos e Hiperbólicos

Cronograma Proposto Incialmente

Este foi o programa proposto no início do perído, que será mantido aqui para fins de comparação com o cronograma que realmente foi efetivado acima.

1. Distribuições

01 .   Seg – 09/03 – Apresentação do curso. Preliminares: Teorema de Fubini, espaços \(L^p\), Desigualdade de Hölder. Partição da Unidade. Suporte de funções.
02 .   Qua – 11/03 – Convolução. Desigualdade de Young. Derivação de convolução.
03 .   Sex – 13/03 – Funções regularizantes. Densidade de \(C_c^\infty(\Omega)\) em \(L^p(\Omega)\). Lema de Du Bois Raymond
04 .   Seg – 16/03 – Espaços das funções testes e distribições. Convergência. Derivação de distribuições. Derivada Fraca. Multiplicação por funções \(C^\infty\).

2. Espaços de Sobolev

05 .   Qua – 18/03 – Definição de Espaços de Sobolev. Banach e reflexivo. \(W_0^{k,p}(\mathbb{R}^d)\).
06 .   Sex – 20/03 – Aproximação por Funções Suaves. Teorema de Friedrichs. Regra da Cadeia. Teorema de Meyers-Serrin.
07 .   Seg – 23/03 – Operador Prolongamento.
08 .   Qua – 25/03 – Operador Traço.
09 .   Sex – 27/03 – Espaço das Funções Hölder contínuas
10 .   Seg – 30/03 – Imersões de Sobolev: Teorema de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. Caso \(\Omega=\mathbb{R}^d\) e \(p\leq d\).
11 .   Qua – 01/04 – Imersões de Sobolev: Desigualdade de Morrey. Caso \(\Omega=\mathbb{R}^d\) e \(p>d\).
🏖️   Sex – 03/04 – Sexta-feira da Paixão
12 .   Seg – 06/04 – Imersões de Sobolev: Casos \(\Omega\subset \mathbb{R}^d\). Caso \(W_0^{k,p}(\mathbb{R}^d)\). Desigualdade de Poincaré
13 .   Qua – 08/04 – Imersões Compactas.
🏖️   Sex – 10/04 – Feriado Municipal
14 .   Seg – 13/04 – Imersões Compactas II.
15 .   Qua – 15/04 – Caracterização de \(W^{1,\infty}\).
16 .   Sex – 17/04 – Desigualdade de Hardy e Teorema de Rademarcher.
17 .   Seg – 20/04 – Espaço \(H^{-1}(\Omega)\)
🏖️   Ter – 21/04 – Tiradentes
18 .   Qua – 22/04 – Aula de Dúvidas 1
🏖️   Qui – 23/04 – São Jorge
19 .   Sex – 24/04 – VA 1 (Verificação de Aprendizagem)

3. Problemas Elípticos

20 .   Seg – 27/04 – Operadores Elípticos. Definição de Solução Fraca. Teorema de Lax-Milgram.
21 .   Qua – 29/04 – 1º Teorema de Existência de Solução Fraca.
🏖️   Sex – 01/05 – Dia do Trabalho
22 .   Seg – 04/05 – Alternativa de Fredholm. 2º Teorema de Existência de solução.
🏖️   Qua – 06/05 – Participação em Congresso
🏖️   Sex – 08/05 – Participação em Congresso
23 .   Seg – 11/05 – 3º Teorema de Existência de solução.
24 .   Qua – 13/05 – Quociente de diferenças. Regularidade interior.
25 .   Sex – 15/05 – Regularidade interior continuação.Regularidade na Fronteira.
26 .   Seg – 18/05 – Princípios do Máximo fraco
27 .   Qua – 20/05 – Princípios do Máximo forte
28 .   Sex – 22/05 – Desigualdade de Harnack
29 .   Seg – 25/05 – Autovalores e Autofunções
30 .   Qua – 27/05 – Aula de Dúvidas 2
31 .   Sex – 29/05 – VA 2 (Verificação de Aprendizagem)

4. Problemas Parbólicos e Hiperbólicos

32 .   Seg – 01/06 – Distribuições Vetoriais
33 .   Qua – 03/06 – Problemas Parabólicos de segunda ordem. Definição de solução fraca. Aproximações de Galerkin.
🏖️   Qui – 04/06 – Corpus Christ
🏖️   Sex – 05/06 – Ponto Facultativo
34 .   Seg – 08/06 – Desigualdade de Energia
35 .   Qua – 10/06 – Existência e Unicidade de soluções.
36 .   Sex – 12/06 – Regularidade de Soluções
37 .   Seg – 15/06 – Princípio do Máximo fraco parabólico
38 .   Qua – 17/06 – Desigualdade de Harnack parabólica
39 .   Sex – 19/06 – Princípios do Máximo forte parabólico
40 .   Seg – 22/06 – Problemas Hiperbólicos de segunda ordem. Definição de solução fraca. Aproximações de Galerkin.
41 .   Qua – 24/06 – Desigualdade de Energia
42 .   Sex – 26/06 – Existência e Unicidade de soluções.
43 .   Seg – 29/06 – Regularidade de Soluções
44 .   Qua – 01/07 – Velocidade de Propagração finita
45 .   Sex – 03/07 – Aula de Dúvidas 3
46 .   Seg – 06/07 – VA 3 (Verificação de Aprendizagem)

47 .   Qua – 08/07 – Aula reservada para reacomodação do calendário
48 .   Sex – 10/07 – –
🔚   Sex – 10/07 – Fim do Período. 🙌

Referências

  • Brezis, Haim. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer, New York-London, 2011.

  • Evans, Lawrence C. Partial differential equations, volume 19. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2010.

  • Kesavan, S. Topics in Functional Analysis and Applications, volume 52. New Age International Ltd, New Delhi, 2015.